Belajar dan Berbagi: 2013

kita semua sudah belajar tentang persamaan kuadrat yang mempunyai bentuk umum seperti berikut ini.

$ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a\neq 0$

ada 3 cara menyelesaikan soal persamaan kuadrat,

1. pemfaktoran

2. melengkapkan kuadrat

3. menggunakan rumus “abc” (baca: rumus aaa, beee, ceee).

Seperti apa rumus “abc” itu?

Sebetulnya ketiga cara tersebut sudah standar dan biasa terdapat di buku-buku pelajaran matematika, lengkap dengan contoh-contoh soal dan penyelesaiannya. Di dunia maya pun kita bisa dengan mudah mencarinya. Cukup dengan mengetikkan kata/frase “quadratic equation” di mesin pencari (misal google), maka cara-cara penyelesaian itu akan muncul dengan cepatnya.

Di sini kita akan mendiskusikan cara yang ketiga, yakni menggunakan rumus “abc”. Rumus “abc” dari persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ adalah seperti berikut ini.

$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Contoh penggunaannya begini. Misalkan kita ingin menyelesaikan persamaan kuadrat $2x^2 + 3x + 1 = 0$ . Dari persamaan ini didapat $a = 2, b = 3$ , dan $c = 1$ . Sehingga dengan memasukkan (mensubstitusikan) nilai-nilai ini ke rumus tadi, maka diperoleh penyelesaian berikut ini.

$x = \frac{-3\pm\sqrt{3^2-4.2.1}}{2.2}$
$x = \frac{-3\pm\sqrt{9-8}}{ 4} = \frac{-3\pm 1}{4}$
Jadi penyelesaiannya yaitu $x = -1$ atau $x = -\frac{1}{2}$

Lalu, timbul pertanyaan, dari mana datangnya rumus “abc” tersebut?
Apakah datang dari “langit” begitu saja?

Jawabnya, tentu TIDAK! Semua orang juga setuju akan hal ini.
Ternyata, rumus tersebut tidak datang dari mana-mana, tapi dari persamaan kuadrat itu sendiri. Nah, ini dia buktinya!

$ax^2 + bx + c = 0$ , karena $a\neq 0$ , maka
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
$\Leftrightarrow x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2= -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$
$\Leftrightarrow (x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 -4ac}{4a^2}$
$\Leftrightarrow (x+\frac{b}{2a}) = \pm \sqrt{\frac{b^2 -4ac}{4a^2}}$
$\Leftrightarrow x =-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$
$\Leftrightarrow x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .

Nah, baris yang terakhir itulah yang disebut dengan rumus “abc”.

SEBETUL-nya, penggunaan istilah rumus “abc” tidaklah tepat! Namun sudah telanjur populer di negeri kita. Bahkan populer juga di negeri Belanda. Mungkin, istilah ini merupakan salah satu warisan dari mantan penjajah negeri kita itu. Makanya ada kesamaan penyebutan rumus tersebut baik di negeri kita maupun di negeri Belanda.

Lalu yang tepat itu disebut rumus apa? Yang tepat istilahnya adalah rumus quadrat. Kenapa penggunaan istilah rumus”abc” tidak tepat? Sederhana saja jawabnya. Bila kita punya persamaan kuadrat ditulis dalam bentuk $px^2 + qx + r = 0$ , maka penyelesaiannya adalah

$x = \frac{-q\pm\sqrt{q^2-4pr}}{2p}$

Apakah masih tepat menyebut rumus ini dengan rumus “abc”? Tentu tidak, bukan? Namun demikian, terserah saja menyebutnya. Mau rumus “abc” kek, rumus “pqr” kek, rumus kuadrat kek, atau rumus “kecap”. Yang penting adalah kita mengerti dan dapat menggunakannya. Betul?

Rumus Kecap = karena salah satu merek kecap di Indonesia ada yang bermerek ABC, jadi kita dapat menyebutnya dengan rumus Kecap :)
Semoga Bermanfaat.

Rangkuman Materi Integral

INTEGRAL

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.
Lambang integral adalah $\int\,$

Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

Disini C adalah sembarang konstanta.

1. Rumus umum
INT1

2. Fungsi Aljabar
INT2

3. Fungsi Eksponensial
INT3

4. Fungsi Trigonometri
INT4

5. Fungsi Trigonometri (lanjutan)
INT5

6. Fungsi Invers Trigonometri
INT6

7. Fungsi Hiperbolik
INT7

8. Berikut ini adalah rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan dalam menyelesaikan masalah integral.
INT8

9. Gunakan Rumus Trigonometri tersebut untuk mencari
INT22

10. Seperti nomor 9.
INT20

11. INTEGRAL PARSIAL
Rumus dari Integral Parsial
INT11

12.   Hitungan berikut menggunakan integral Parsial dengan cara reduksi

13.   Seperti nomor 12.

14. Masih menggunakan integral parsial.

15.   Menyelesaikan masalah berikut menggunakan integral parsial, dengan rumus reduksi

16.   SUBSTITUSI TERIGONOMETRI.
         Untuk Integrand dengan bentuk seperti berikut, gunakan substitusi Trigonometri

17. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL.

       Ubahlah fungsi rasional menjadi pecahan parsial, dengan cara :
      (i)    Apabila g (x) terdiri dari satu suku saja, bagilah f (x) dengan g (x)
     (ii)  Apabila derajat f (x) lebih besar atau sama dengan derajat derajat g (x), bagilah f (x) dengan g (x) . Sisanya yang dipecah menjadi pecahan parsial.
   (iii) Selanjutnya faktorkan penyebut, yaitu g (x).
   (iv) Berikut adalah petunjuk mengubah ke pecahan parsial
         INT18

Catatan untuk :
EDIT1

Integral fungsi rasional dengan pembilang adalah turunan penyebut sama dengan ln dari penyebut
EDIT3

adalah bentuk arctan
             Contoh :


CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANNYA

Substitusi

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \frac{ln x}{x}\,dx\,$

$t = \ln x, dt = \frac{dx}{x}$

$\int \frac{ln x}{x}\,dx\, = \int t\,dt$

$= \frac {1}{2} t^2 + C$

$= \frac {1}{2} ln^2x + C$

Integrasi parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

$\int f(x)g(x)\,dx = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \ln x \,dx\,$

$f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = \frac{1}{x}\,$

Gunakan rumus di atas

$\int \ln x\ dx = x ln x - \int x\frac{1}{x}\,dx\,$

$= x ln x - \int 1\,dx\,$

$= x ln x - x + C\,$

Substitusi trigonometri

Bentuk	Gunakan
$\sqrt{a^2-b^2x^2}\,$	$x = \frac{a}{b}\sin \alpha\,$
$\sqrt{a^2+b^2x^2}\,$	$\!\, x = \frac{a}{b}\tan \alpha\,$
$\sqrt{b^2x^2-a^2}\,$	$\, x = \frac{a}{b}\sec \alpha\,$